ヒルベルト空間

数学におけるヒルベルト空間(ヒルベルトくうかん)は、ダフィット・ヒルベルトにその名を因む、ユークリッド空間の概念を一般化したものである。これにより、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間(内...

ベクトル空間

数学、特に線型代数学におけるベクトル空間(ベクトルくうかん)、または、線型空間(せんけいくうかん)は、ベクトルと呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積(「スケール変換」)を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある...

多項式環

数学、殊に抽象代数学における多項式環(たこうしきかん)は環に係数を持つ一変数または多変数の多項式の全体の集合が成す環である。多項式環はヒルベルト基底定理や分解体の構成、線型作用素の理解など数学のかなり広い分野に影響をもつ概念である。
【 の性質、}} は整域である、}} の因数分解、}} の剰余環と根体、多変数多項式環、環上の多変数多項式、多項式...

ネーター環

数学においてネーター環(ネーターかん)は、イデアルの昇鎖条件などのある種の有限性を持つ環の一種。エミー・ネーターによって提唱された。
【定義、諸概念、性質、例、ヒルベルト基底定理、次元】

核作用素

数学の分野における核作用素(かくさようそ)とは、基底の選び方に依らない有限のトレースを定義出来るような、あるコンパクト作用素のことを言う(ただし、この定義は少なくとも well-behaved な空間におけるものであって、いくつかの空間においては核作用素にトレースが存在しないこともある)。核作用素は、本質的にはトレースクラス作用素と同じものであるが、多くの...

トレースクラス

数学の分野におけるトレースクラス作用素とは、有限かつ基底の選び方に依らないトレースを定義出来るようなあるコンパクト作用素のことを言う。トレースクラス作用素は、本質的には核作用素と等しいものであるが、多くの研究者は「トレースクラス作用素」の語はヒルベルト空間上の特別な核作用素の場合に対して用い、より一般的なバナッハ空間に対して「核作用素」の語を用いる。

正規直交系

数学、特に線型代数学並びに関数解析学において正規直交系(せいきちょっこうけい)とは、互いに直交して(内積が 0 でありかつその大きさが規格化されて 1 であるベクトルの集まりである。ONSとも表される。特に、正規直交系が完全系(任意のベクトルが正規直交系によって展開可能)である場合には、完全正規直交系または正規直交基底と呼ばれ、CONSと表される。ヒルベル...

アルティン・リースの補題

数学において、アルティン・リースの補題は、ヒルベルト基底定理のような結果とともに、ネーター環上の加群についての基本的な結果である。1950年代に数学者エミール・アルティンとによって独立に証明された。特別な場合は オスカー・ザリスキ に先に知られていた。
【補題の主張、証明、クルルの交叉定理の証明】