ヒルベルト空間

数学におけるヒルベルト空間ヒルベルトくうかん)は、ダフィット・ヒルベルトにその名を因む、ユークリッド空間の概念を一般化したものである。これにより、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間(内...

ヒルベルト=シュミット作用素

数学の分野におけるヒルベルト=シュミット作用素(ヒルベルト=シュミットさようそ)とは、ダフィット・ヒルベルトとエルハルト・シュミットの名にちなむ、ヒルベルト空間上の有界線型作用素で、次のような有限のヒルベルト=シュミットノルムを備えるもののことを言う:

コンパクト作用素

数学の一分野函数解析学においてコンパクト作用素(コンパクトさようそ)とは、バナッハ空間 X から別のバナッハ空間 Y への線型作用素 L であって、X の任意の有界集合を Y の相対コンパクト集合へ写すようなもののことを言う。このような作用素は有界作用素、つまり連続写像でなければならない。
【同値な定式化、重要な性質、積分方程式論、ヒルベルト空間上...

随伴作用素

数学の特に函数解析学において、ヒルベルト空間上の各有界線型作用素は、対応する随伴作用素(ずいはんさようそ)を持つ。作用素の随伴は正方行列の随伴行列の概念の無限次元の場合をも許すような一般化である。
有界作用素に対する定義、性質、密定義作用素の随伴、エルミート作用素、反線型作用素の随伴、その他の随伴】

作用素

数学における作用素(さようそ)は、しばしば写像、函数、変換などの同義語として用いられる、 。函数解析学においては主にヒルベルト空間やバナッハ空間上の(必ずしも写像でない部分写像の意味での)線型変換を単に作用素と呼ぶ。
【定義、作用素のクラス、汎函数、線型作用素、有界作用素と作用素ノルム、例、幾何学、確率論、初等解析学、ベクトル解析、注】

強作用素位相

数学の一分野である関数解析学における強作用素位相(きょうさようそいそう、 SOT)とは、ヒルベルト空間上の(あるいは、より一般にバナッハ空間上の)有界作用素全体の成す集合上の局所凸位相で、作用素 T を実数 Tx へと写す評価写像がそのヒルベルト空間内の各ベクトル x について連続であるようなもののうち最弱のものを言う。

フォン・ノイマン環

フォン・ノイマン環(ふぉんのいまんかん、von Neumann algebra)とは、ヒルベルト空間上の有界線型作用素たちのなす C*-環のうちで恒等作用素を含み作用素の弱収束位相について閉じているもののことである。一般の C*-環と並ぶ作用素環論の主要な研究対象であり、理論の創始者の一人ジョン・フォン・ノイマンにちなんでこの名前がついている。可換なフォン...

作用素ノルム

数学の分野における作用素ノルム(さようそノルム)とは、線形作用素の大きさを測る際に用いられるある種の指標のことを言う。より正式には、与えられた二つのノルム線形空間の間の有界線形作用素からなる空間上に定義されるノルムのことを言う。
【導入と定義、例、同値な定義、性質、ヒルベルト空間上の作用素】

トレースクラス

数学の分野におけるトレースクラス作用素とは、有限かつ基底の選び方に依らないトレースを定義出来るようなあるコンパクト作用素のことを言う。トレースクラス作用素は、本質的には核作用素と等しいものであるが、多くの研究者は「トレースクラス作用素」の語はヒルベルト空間上の特別な核作用素の場合に対して用い、より一般的なバナッハ空間に対して「核作用素」の語を用いる。

作用素位相

数学の関数解析学の分野では、ヒルベルト空間 H 上の有界線形作用素の環 B に対して与えられる標準的な作用素位相(さようそいそう)がいくつか存在する。
【導入、B 上の位相】